A はじめに、下記の手順をご参考に、livedoorメールのWeb側でのご設定をご確認ください。

1. Web上にてご利用されているlivedoorメールへアクセス。
2. livedoorメール内画面にて右上にございます「設定」をクリック。
3. 「メール転送と　POP/IMAP」をクリック。
4. 「IMAP アクセス」欄にございます「1. ステータス: IMAP 無効」にて「IMAP を有効にする」にマーク。

ibisMailにて、アカウント作成時に、「IMAP」を選択して作成してください。
新規アカウント画面にてアドレスとパスワードを入力後、右上の保存ボタンをタップし、次の画面トップにて「IMAP」を選択してください。

設定画面で、アカウント設定が以下になっているか確認ください。
設定画面での確認

受信メールサーバ (IMAP)	ホスト	imap.gmail.com
	ユーザー	メールアドレス(@livedoor.comも含む)
	パスワード	livedoorのパスワード
	詳細 SSLを使用	オン
	詳細 認証	パスワード
	詳細 IMAP接頭辞	なし
	詳細 サーバポート	993
送信メールサーバ (SMTP)	ホスト	smtp.gmail.com
	ユーザー	メールアドレス(@livedoor.comも含む)
	パスワード	livedoorのパスワード
	SSLを使用	オン
	認証	パスワード
	サーバポート	465